Download Algebra: Gruppen – Ringe – Körper by PD Dr. Christian Karpfinger, Prof. Dr. Kurt Meyberg (auth.) PDF

By PD Dr. Christian Karpfinger, Prof. Dr. Kurt Meyberg (auth.)

Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausführlich und motivierend behandelt.

Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Diese Lerneinheiten führen Schritt für Schritt an die Ergebnisse heran und können durch diese Darstellung vom Leser besser nachvollzogen werden.

Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis der Theorie. Auf der site zum Buch stehen ausführliche Lösungsvorschläge zu den Aufgaben bereit.

Die three. Auflage wurde vollständig durchgesehen und um ein Kapitel über freie Gruppen erweitert.

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8 Es sei U eine Untergruppe der Gruppe G. Dann gilt (a) G = sind. a∈G a U , wobei zwei Nebenklassen a U , b U entweder disjunkt oder gleich (b) |a U | = |U | = |U a| für jedes a ∈ G. (c) ψ : a U → U a−1 ist eine Bijektion von der Menge der Links- auf die der Rechtsnebenklassen von U in G. Beweis: (a) Wegen a = a e ∈ a U (beachte e ∈ U ) gilt G = a∈G a U . Somit ist G die Vereinigung seiner Linksnebenklassen. 7 (c) sind zwei Nebenklassen entweder diskunkt oder gleich. (b) Die Abbildungen ⎧ ⎧ ⎨ U → Ua ⎨ U → aU und ⎩ x → xa ⎩ x → ax sind wegen der Kürzregeln (vgl.

Beweis: (a) Falls es i = j gibt mit ai = aj , so ist, wie wir gleich unter (b) zeigen werden, a endlich. (b) Ist o(a) endlich, d. h. a = {ak | k ∈ Z} eine endliche Menge, dann gibt es Exponenten i = j mit ai = aj . Wie vorweg gezeigt, gibt es in diesem Fall eine kleinste natürliche Zahl n mit an = e und U = {k ∈ Z | ak = e} = n Z. Wir teilen ein beliebiges m ∈ Z durch n mit Rest, m = q n + r mit 0 ≤ r < n und sehen, dass jede beliebige Potenz am = (an )q ar = e ar = ar bereits in {e, a, a2 , . .

Die angegebenen Elemente sind auch alle voneinander verschieden, denn aus αi β j = αr β s mit i, r ∈ {0, 1} und j, s ∈ {0, 1, . . , n − 1} und o. E. i = 0, r = 1 würde x für alle x ∈ En , insbesondere α = β j−s folgen, also x = α(x) = β j−s (x) = εj−s n j−s j−s εn = 1 und dann x = εn x = x für alle x ∈ En . Also gilt i = r und dann auch j = s. Wir erhalten für die Ordnung der Diedergruppe: |Dn | = 2 n . Zu jedem geraden k ≥ 6 aus N gibt es somit eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung k. Die Gruppen D3 und S3 sind isomorph.

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